1、题型简介
公务员考试中常见的题型是给出相关的已知条件，计算出余数。
2、核心知识
被除数=除数×商+余数（都是正整数）
（1）一个被除数，多个除数
A、基本形式——中国剩余定理
原型：
《孙子算经》记载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
基本解法——层层推进法：
以上题为例，满足除以3余2的最小数为2；
在2的基础上每次加3，直到满足除以5余3，这个最小的数为8；
在8的基础上每次加3、5的最小公倍数15，直到满足除以7余2，这个最小的数为23。
所以满足条件的最小自然数为23，而3、5、7的最小公倍数为105，故满足条件的数可表示为105n+ 23(n=0，1，2，…)。
B、特殊形式——余同、和同、差同
特殊形式的口诀：余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数为最小周期。
（2）多个被除数，一个除数
A、同余
两个整数a、b除以自然数m(m>1)，所得余数相同，则称整数a、b对自然数m同余，记做
( c mod m)。例如：23除以5的余数是3，18除以5的余数也是3，则称23与18对于5同余。
同余的特殊性质：在同余的情况下(a-b)必能被m整除，所得的商为两数商之差。例如：
，那么
。
B、不同余
两个整数a、b除以自然数m(m>1)，所得余数不相同，则称整数a、b对自然数m不同余。
同余和不同余的三个重要的性质——可加性，可减性，可乘性。
对于同一个除数m，两个数和的余数等于余数的和，两个数差的余数等于余数的差，两个数积的余数等于余数的积。
3、核心知识使用详解
（1）一个数被2（或5）除得到的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得到的余数。
（2）一个数被4（或25）除得到的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得到的余数。
（3）一个数被8(或125)除得到的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得到的余数。
（4）一个数被3（或9）除得到的余数，就是其各位数字之和被3（或9）除得到的余数。
1、一个被除数，多个除数
例1：(2008．山西)
一个盒子中有几百颗糖，如果平均分给7个人，则多3颗，平均分给8个人则多6颗，如果再加3颗，可以平均分给5个人，则该盒子中糖的数目可能有：
A. 3种
B. 4种
C. 5种
D. 6种
“有几百颗糖”意味着糖的数目是一个三位数；
“如果再加3颗，可以平均分给5个人”即糖的数量除以5余2。
[解析]
根据题意可知：
满足除以7余3最小自然数是3，
在3的基础上每次加7的倍数直到满足第二个条件：
这个数是38，
38能够除以7余3，同时除以8余6；
在38的基础上每次加上7和8的最小公倍数56直到满足第三个条件：
这个数是262，
262就是符合全部条件的最小自然数；
所有符合题意的数可以表示为262+280n。
其中280是5、7、8的最小公倍数，
易知n=0，1，2时，
这个数是一个三位数，
即符合题意的糖的数目有3种；
所以，选A。
例2：(2010．浙江)
有一个自然数“z”，除以3的余数是2，除以4的余数是3，问“z”除以12的余数是多少？
A. 1
B. 5
C. 9
D. 11
根据“除以3的余数是2，除以4的余数是3”可知，3-2＝4-3
即除数与余数之差相同。
[解析]
依题意：
3、4的最小公倍数是12；
根据“差同减差，最小公倍数做周期”，可得：
符合条件的自然数可以表示为12n-1(n=1，2，…)；
该数被12除余数为-1+12＝11，
所以，选D。
例3：(2006．国考)
一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有：
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
根据“三位数除以5余2，除以4余3”可知，5+2= 4+3 =7，即除数与余数之和相同。
[解析]
根据“和同加和，公倍数做周期”可知：
4、5的最小公倍数为20；
所有满足条件的数可表示为20n+7，也就是除以20余7；
同时，此三位数除以9余7，余数相同。
根据“余同取余，公倍数做周期”可知：
9、20的最小公倍数为180，
因此，所有满足条件的数可表示为180n+7；
且有100≤180n+7≤999，
即1≤n≤5，n取整数；
所以，选A。
2、多个被除数，一个除数
例4：(2009．内蒙古)
a除以5余1，b除于5余4，如果3a>b，那么3a-b除以5余几？
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
因为除数同为5，考虑应用可乘性，可减性： 两个数积的余数等于余数的积，两个数差的余数等于余数的差。
[解析]
解法一：根据同余的可减性和可乘性。
两个数积的余数等于余数的积:
故3a的余数为3×1＝3，
两个数差的余数等于余数的差:
所以，3a-b除以5的余数为3×1-4=-1；
又3a-b>0，因为余数大于0而小于除数:
则有3a-b除以5的余数为-1+5=4（非负）；
所以，选D。
解法二：特殊值法
根据“a除以5余1，b除于5余4”：
可设a=6，b=9:
则3a-b=9，b除以5余4；
所以，选D。
例5：(2005．天津)
有8只盒子，每只盒内放有同一种笔。8只盒子所装笔的数量分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支。在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，钢笔支数是铅笔支数的1/3，只有一只盒里放的是水彩笔，这盒水彩笔共有多少支？
A. 38
B. 49
C. 51
D. 36
铅笔数是钢笔的3倍，圆珠笔数是钢笔的2倍，因此这三种笔总数是钢笔数的6倍。
[解析]
笔的总支数＝钢笔数的6倍+水彩笔数，
根据同余的概念和同余的可加性：
笔的总支数与水彩笔数关于6同余；
由于铅笔、钢笔、圆珠笔、水彩笔的总支数(17+23+33+36+38+42+49+51)除以6余1，故水彩笔的支数除以6余1:
上述四个选项中，只有49除以6余1，即水彩笔共有49支。
所以，选B。
1、一个被除数，多个除数
例6：(2008．黑龙江)
有100元、10元、1元的纸币共4张，将它们都换成5角的硬币，刚好可以平分给7个人，则总币值的范围是：
A. (100～110)
B. (110～120)
C. (120～130)
D. (210～220)
“有100元、10元、1元的纸币共4张”意味着每种币值的纸币至少有一张；“刚好可以平分给7个人”即硬币的总数量应为7的倍数。
[解析]
三种币值的纸币各一张可换取5角硬币数量为：
(100+10+1)÷0.5=200+20+2=222个；
222除以7余数为5。
又硬币的总数量应为7的倍数，
即所得余数之和应为除数的倍数:
故第4张纸币可换成的5角硬币数除以7余2。
100元、10元、1元的纸币分别能兑换200、20、2个5角硬币：
200＝7×28+4；
20＝2×7+6；
2＝0×7+2；
即200、20、2除以7的余数分别为4、6、2；
只有1元符合条件，
故总币值为100+10+1+1=112元。
所以，选B。
例7：三位数的自然数P满足：除以7余2，除以6余2，除以5也余2，则符合条件的自然数P有：
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
“除以7余2，除以6余2，除以5也余2”，这是余数问题中余同的情况，利用特殊形式口诀解决问题。
[解析]
依题意：
这个三位数除以7,6,5余数都是2，
满足“余同取余，最小公倍数做周期”:
故符合条件的自然数可以表示为P= 210n+2;
n=1，2，3，4时P为三位数;
所以，选C。
2、多个被除数，一个除数
例8：小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同，那么该题的余数是多少？
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
同余情况下，商比原来多3，即两数之差除以除数的商为3。
[解析]
设该除数为m，
由于113和131对于除数m同余，
根据同余的特殊性质可知：
131-113 =18能被m整除；
由于113和131被m除的商相差3:
即18除以m的商为3;
故m=6；
113和131除以m(6)的余数为5。
所以，选B。
例9：
乘以
的积，除以7余数是：
A. 3
B. 4
C. 5
D. 0
被除数=除数的最小公倍数的倍数+余数
[解析]
根据能被7整除的数的特性可知：
666666能被7整除（末三位与末三位之前的数字之差为0），
6n个6组成的数（n=1,2,…）也能被7整除；
由于50÷6的商为8，余数为2:
－666…66600（48个6）＝66；
，即
除以7余数为3。
同理:
除以7余数为4。
根据可乘性可得：
该值除以7的余数为3×4，
但是由于12大于7:
因此12除以7的余数，即为5。
所以，选C。
例10：有四个不同的自然数，它们当中任意两个数的和都是2的倍数，任意三个数的和都是3的倍数。为了使这四个数尽量小，这四个数和是：
A. 20
B. 30
C. 40
D. 50
“四个数中的任意两个数之和都是2的倍数”，即任意两数之和是偶数，故这四个数的奇偶性相同；
“四个数中的任意三个数的和都是3的倍数“，故这四个数被3除同余（余数同为0、1或者2）。
[解析]
如果四个数都是3的倍数:
那么这四个数最小是3、9、15、21；
如果四个数都是偶数为6、12、18、24，其和大于（3、9、15、21）；
所以，其和为3+9+15+21=48；
同理，如果这四个数被3除余数均为1：
那么这四个数最小是1、7、13、19，
其和为40；
如果这四个数被3除余数均为2：
那么这四个数最小是2、8、14、20，
其和为44。
故这四个数的和最小为40。
所以，选C。
学完知识点后就应该进行实战演练了，自我检测中的题目是91UP专家团针对本条知识精选出来的典型题目。题 不在多而在于精，在洞察其万变不离其宗的模式，认真完成自我检测可以事半功倍举一反三。