数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。整除问题是计算问题中数的性质里面的一种。
在公务员考试中，数的整除性质被广泛应用在运算里，同时在行程、工程等问题中，很多时候都需要用到整除性质。整除问题一般只考两个方面，考生只需牢牢掌握这两个方面，便可轻松搞定这类问题。
1、题型简介
数的整除性质被广泛应用在数学运算里。一般情况下题目会给出某个N位数能被M个数整除的已知条件，求解这个N位数。
2、核心知识
如果a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，称a能被b整除（或者说b能整除a）。
数a除以数b（b≠0），商是整数或者有限小数而没有余数，称a能被b除尽（或者说b能除尽a）。
整除是除尽的一种。
（1）整除的性质
A、如果数a和数b能同时被数c整除，那么a±b也能被数c整除。
如：36，54能同时被9整除，则它们的和90、差18也能被9整除。
B、如果数a能同时被数b和数c整除，那么数a能被数b与数c的最小公倍数整除。
如：63能同时被3、7整除，则63也能被3和7的最小公倍数21整除。
C、如果数a能被数b整除，c是任意整数，那么积ac也能被数b整除。
如：58能被29整除，则58乘以任意整数的积，例如58×5，也能被29整除。
D、平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9。
E、若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
F、若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（2）整除特征
表1 常见数字整除的数字的特性表
特点 | 举例 | |
被2整除的数字 | 末位数为0、2、4、6、8 | 2能被2整除，故422能被2整除 |
被3（或9）整除的数字 | 各位数字之和能被3（或9）整除 | 1+5+6=12能被3整除， 故156能被3整除 |
被4(或25)整除的数字 | 末两位数字能被4(或25)整除 | 48能被4整除，故348能被4整除 |
被8(或125)整除的数字 | 末三位数字能被8(或125)整除 | 544能被8整除， 故2544能被8整除 |
被5整除的数字 | 末位数字是0或5 | 0能被5整除，故430能被5整除 |
被7(或13)整除的数字 | 末三位与末三位之前的数字之 差能被7（或13）整除（对于 位数较多的数字，可反复使用） | 322-14=308能被7整除， 故14322能被7整除 |
被11整除的数字 | 奇数位数字之和与偶数位数字 之和的差能被11整除。 | (9+5)-(6+8)=0，能被11整除， 故9658能被11整除 |
被10n（n为正整数） 整除的数字 | 末n位数字为0 | 560能被10整除 |
被其他合数整除的数字 | 将该合数进行因数分解， 能同时被分解后的互质因数整除 | 被28整除的数字， 需同时被4和7整除。 |
3、核心知识使用详解
（1）三个连续的自然数之和（积）能被3整除。
（2）实际生活中很多事物的数量是以整数为基础来计量的，这一点在解题的过程中需要考生自己来发掘。
（3）1能整除任何整数，0能被任何非零整数整除。
1、整除的性质
例1：(2010．浙江)
一个四位数“□□□□”分别能被15、12和10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问四位数“□□□□”中四个数字的和是多少？
A. 17
B. 16
C. 15
D. 14
“问四位数‘□□□□’中四个数字的和是多少？”，要先求得这个四位数，而求这个数要根据“分别能被15、12和10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365”，可设该数为x，列方程求解。
[解析]
设这个四位数为x，
根据题意列方程：
解得x= 5460，
则这个四位数的四个数字之和为5+4+6+0=15。
因此，选C。
2、整除特征
例2：
六位数x2010y能被88整除，则x，y的取值是多少？
A. x-9,y=4
B. x=7,y=4
C. x=9,y=8
D. x=8,y=4
“六位数x2010y能被88整除”，能被88整除的数的特点不明显，故先将88分解为互质的两因数乘积88=8×11，则该六位数必能同时被8和11整除。
[解析]
能被8整除的数：
末三位数字能被8整除,
即10y能被8整除，
故y=4；
能被11整除的数：
奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除,
奇数位数字之和-偶数位数字之和=x+0+0-（2+1+y）=x-y-3=x-4-3=x-7
要让x-7能被11整除，x=7；
因此，选B。
1.整除的性质
例3：(2008．浙江)
在自然数1至50中，将所有不能被3除尽的数相加，所得的和是：
A. 865
B. 866
C. 867
D. 868
“在自然数1至50中，将所有不能被3除尽的数相加，”由于不能被3整除的数的规律不好找寻，所以可以考虑从“在自然数1至50中，能被3整除的数相加所得的和入手
[解析]
在自然数1至50中，能被3整除的数，即个位数字之和为3的倍数；
“在自然数1至50中，能被3整除的数”有3、6、9、12、15、18……故可以转化为首项为3，末项为48，项数为16，公差为3的等差数列；
在自然数1至50中，能被3整除的数的和——等差数列求和：
；
自然数1至50的和——等差数列求和：
；
在自然数1至50中，不能被3整除的数的和：
在自然数1至50中，不能被3整除的数的和
=自然数1至50的和-在自然数1至50中能被3整除的数的和
=
- 
=
该值的尾数为7。
因此，选C。
例4：(2007．国考)
有一食品店某天购进了6箱食品，分别装着饼干和面包，重量分别为8、9、16、20、22、27公斤。该店当天只卖出一箱面包，在剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，则当天食品店购进了( )公斤面包。
A. 44
B. 45
C. 50
D. 52
“在剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍”，可知，剩余5箱食品的重量能被3整除。
[解析]
6箱食品的总重量：
8+9+16+20+22+27=102，能被3整除；
卖出的一箱面包的重量：
由整除的性质（如果数a和数b能同时被数c整除，那么a±b也能被数c整除）可知，6箱食品的总重量，能被3整除，剩余5箱食品的重量能被3整除，卖出的一箱面包的重量必为3的倍数，
即卖出的一箱面包重量只能为9或27公斤；
剩下的食品重量：
剩下的食品重量为102-9=93或102-27=75公斤；
剩下的面包重量：
其中剩下的面包为93÷3=31或75÷3=25公斤；
面包的总重量：
则共有面包31+9=40或25+27=52公斤；
因此，选D。
2.整除特征
例5：(2008．海南)
下列四个数都是六位数，X是比10小的自然数，Y是零，一定能同时被2、3、5整除的数是多少？
A. XYXYXY
B. XXXYXX
C. XYYXYY
D. XYYXYX
“一定能同时被2、3、5整除的数是多少？”，该数能同时被2、3、5整除，则尾数只能为0，且各个位数之和应能被3整除。
[解析]
能被2整除的数：
末位数为0、2、4、6、8；
能被5整除的数：
末位数字是0或5；
故既能被2整除又能被5整除的数：
末位数字是0；
而根据题意，Y是零并且X和Y不能同时为零，则Y只能为尾数，
因此排除B、D；
能被3整除的数：
各个位数之和应能被3整除，A项的各位数之和为3X，一定能被3整除；
C项的各位数之和为2X，不一定能被3整除；
因此，选A。
例6：一张旧发票上写有72瓶饮料，总价为x67.9y元，由于两头的数字模糊不清，分别用x、y表示，每瓶饮料的单价也看不清了，那么x=( )。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
“一张旧发票上写有72瓶饮料，总价为x67.9y元”，注意到x67.9y应该能被72整除。故先将72分解为互质的两因数乘积72=8×9，则该数必能同时被8和9整除。
[解析]
能被8整除的数：
末三位数字能被8整除,
“79y”能被8整除，
求得，y=2；
能被9整除的数:
各位数字和能被9整除，
求得，x=3
所以，选C。
学完知识点后就应该进行实战演练了，自我检测中的题目是91UP专家团针对本条知识精选出来的典型题目。题 不在多而在于精，在洞察其万变不离其宗的模式，认真完成自我检测可以事半功倍举一反三。